Анализ фамилии:
В большинстве случаев такие фамилии имеют русское происхождение, однако могут быть и белорусскими, и украинскими. Такие фамилии образованы от имени, прозвища, рода занятий или места жительства дальнего предка человека по мужской линии. Может такая фамилия происходить от имени или прозвища предка по женской линии, например, прапрабабушки человека. В ряде случаев эта фамилия имеет еврейское происхождение и происходит от имени или прозвища предка по женской линии, например, прапрабабушки человека.
В основе прозвище или некрестильное имя Пушка или именование рода детельности отца - пушкарь. И если пушкарь, пешечник - артиллерист (Даль), то пушкарный мог и быть не в армии, а на заводе, при отливе пушек.