Анализ фамилии:
Эта фамилия происходит из украинского или белорусского языка и представляет собой прилагательное или существительное, которое когда-то было прозвищем далёкого предка человека, закрепившееся в качестве его фамилии. Значительная часть таких фамилий принадлежала древним дворянским родам, получившим большую известность в российской истории.
В основе прозвище или некрестильное имя Пушка или именование рода детельности отца - пушкарь. И если пушкарь, пешечник - артиллерист (Даль), то пушкарный мог и быть не в армии, а на заводе, при отливе пушек.