Анализ фамилии:
Эта фамилия имеет украинское происхождение. В основе фамилии лежит уменьшительная форма имени или прозвища дальнего предка человека по мужской линии или, реже, по женской линии. Такие фамилии широко распространены на всей территории Украины, южной Белоруссии и казачьих областях России.
В основе прозвище или некрестильное имя Пушка или именование рода детельности отца - пушкарь. И если пушкарь, пешечник - артиллерист (Даль), то пушкарный мог и быть не в армии, а на заводе, при отливе пушек.