Анализ фамилии:
Эта фамилия имеет украинское или, в редких случаях, белорусское происхождение. Она образована с помощью суффикса –ук/-юк, обозначавшего молодого человека, сына или ученика. В основе фамилии лежит имя или прозвище дальнего предка человека. Такие фамилии получили особенное распространение на Западной Украине.
Хорошо известно женское имя Пелагея, менее - мужская разновидность его - Пелагей (в переводе - морской). В просторечии чаще произносилось Палагей, откуда уменьшительная форма Палагута, Полагута, Палага . Палашин от Палаша - Палагея. Палашов. Пердполагается от названия оружия палаш. (Ф) Но могла и существовать и форма имени Палаш от этого же имени или от крестильного имени Палладий.