Анализ фамилии:
В 40% такие фамилии имеют русское происхождение, в 5% - белорусское, в 5% - украинское, в 25% приходят из языков народов России (татарского, мордовского, башкирского, бурятского и др.), в 20% имеют еврейские корни, в 20% являются русифицированными вариантами латышских фамилий. Эти фамилии почти всегда происходят от имени, прозвища или профессии дальнего предка её носителя, причём в 57% случаев – по мужской линии и в 40% случаев – по женской.
Можай - просторечное название подмосковного города Можайска, но сомнительно, чтобы весьма нередкая в разных областях России фамилия имела бы только такой источник. И в самом деле: в диалектах сохранилось слово 'можай' - человек умелый, способный и сильный (могучий). Тот же корень слышим в слове 'вельможа', где 'вель' - большой, великий. (Ф). А Можайский, Можаитинов (вариант Можевитинов) и даже возможно Мозжевитинов от географического названия, (Э). Мужевитинов, возможно переосмысленное от старинного села Мужи в Сибири.