Анализ фамилии:
В 75% процентов случаев такие фамилии происходят из языков народов Северного Кавказа (осетинского, чеченского, ингушского). Они почти всегда образованы от имени или прозвища дальнего предка человека по мужской линии и появились в такой форме в XX в., когда проводилась русификация этих народов. В 25% случаев эта фамилия имеет происхождение из одного из восточнославянских языков (чаще всего русского, реже белорусского или украинского) и образована от имени, прозвища, рода занятий или места жительства дальнего предка человека по мужской линии.
Можай - просторечное название подмосковного города Можайска, но сомнительно, чтобы весьма нередкая в разных областях России фамилия имела бы только такой источник. И в самом деле: в диалектах сохранилось слово 'можай' - человек умелый, способный и сильный (могучий). Тот же корень слышим в слове 'вельможа', где 'вель' - большой, великий. (Ф). А Можайский, Можаитинов (вариант Можевитинов) и даже возможно Мозжевитинов от географического названия, (Э). Мужевитинов, возможно переосмысленное от старинного села Мужи в Сибири.