Анализ фамилии:
Эта фамилия имеет украинское происхождение. В основе фамилии лежит уменьшительная форма имени или прозвища дальнего предка человека по мужской линии или, реже, по женской линии. Такие фамилии широко распространены на всей территории Украины, южной Белоруссии и казачьих областях России.
В некоторых говорах бабакой и бабаней именуют бабушку. (Ф). В русских говорах было нередким ласкательное обращение к бабушке или вообще к пожилой женщине - бабаня. Притяжательное прилагательное бабанин закрепилось за воспитанником бабушки или ее любимцем и стало фамилией. (Н) Иначе говоря - бабушкин. См. также Бабин Впрочем, некоторые фамили на баба- могут быть связаны и с другими значениями этого слова, которые можно найти в словаре Даля бабатя, бабуля - женовидный мужчина, бабица - колесная ступица, головастая рыбка. и др. Бабаченко - украинская фамилия, вероятно с тойже основой.